Погрешности

Общее

Запись физической величины с погрешностью:
  1. Вычислить погрешность
  2. Округлить погрешность: если первая значащая цифра 1 или 2, оставить две значащие цифры, иначе - одну
  3. Округлить значение величины до стольки же знаков после запятой, как и у погрешности
  4. Записать величину с погрешностью
Пример.
l=3,0234 м
вычислили погрешность: Δ l=0,0123 м
округлили погрешность до двух значащих цифр: Δl=0,012 м
округлили значение величины: l=3,023 м
записали величину с погрешностью: l=(3,023 ± 0,012) м

Простые, 9-10 классы

Абсолютная погрешность

Размерность - такая же, как и у величины
Обозначение: заглавная буква "дельта".
Пример: Δ a
Основной вид погрешности для записи результата! (a±Δa)

Δ (a ± b) = Δ a + Δ b

Относительная погрешность

Размерность - безразличная (1)
Обозначение: строчная буква "дельта".
Пример: δ a
Определение и связь с абсолютной погрешностью: δ a= Δ a / a

δ (a ⋅ b) = δ a + δ b
δ (a ÷ b) = δ a + δ b
Для степеней (в том числе и нецелых) можно применить правило:
δ (a^n) = n ⋅ δ a
(т.е. показатель степени становится множителем)

Пример
S=a⋅t^2/2
ΔS/S=δS
ΔS=S⋅δS
δS=δa+2⋅δt
ΔS=S⋅(Δa/a+2⋅Δt/t)

Сложные, 11 класс

Абсолютная погрешность

Для независимых a и b:
Δ (a ± b) = [(Δ a)^2 + (Δ b)^2]^{1/2}

Относительная погрешность

Для независимых a и b:
δ (a ⋅ b) = [(δa)^2 + (δb)^2]^{1/2}
δ (a ÷ b) = [(δa)^2 + (δb)^2]^{1/2}

Пример
S=a⋅t^2/2
ΔS/S=δS
ΔS=S⋅δS
δS=[(δa)^2+(2⋅δt)^2]^{1/2} (здесь t - одна величина, только во второй степени)
ΔS=S⋅[(Δa/a)^2+(2⋅Δt/t)^2]^{1/2}

Средневзешенное

Как быть, если получен ряд значений величины, и у каждого значения - своя погрешность? А учесть хочется все имеющиеся значения.
Один из вариантов - вычисление средневзвешенного значения.
Основная идея: погрешность показывает область наиболее вероятного нахождения истинного значения (в современном мире погрешность соответствует неопределённости результата для доверительной вероятности 95%).
Попробуем усреднить значения величины, учитывая погрешность. При этом, вес каждого значения возьмём обратно пропорциональным погрешности (общий вес при этом получится равным сумме обратных погрешностей).
Итоговая погрешность может быть получена по схеме, аналогичной для основного значения.

Пример
Получены два значения величины A: A1 = 15±1; A2 = 20±3
Вычислим средневзвешенное для величины A...:
A=(A1 ⋅ [1/ΔA1] + A2 ⋅ [1/ΔA2])/([1/ΔA1] + [1/ΔA2])
A=(15 ⋅ [1/1] + 20 ⋅ [1/3])/([1/1] + [1/3]) = (15 + 6,7)/(1 + 0,3) = 21,7/1,3=16,7
... и её погрешности:
ΔA=(ΔA1 ⋅ [1/ΔA1] + ΔA2 ⋅ [1/ΔA2])/([1/ΔA1] + [1/ΔA2])
ΔA=(1 + 1)/([1/1 + [1/3]) = 2/(1 + 0,3) = 2/1,3 = 1,5
A = 16,7 ± 1,5
Аналогичный приём можно использовать и при других вычислениях (например, при обработке методом МНК).